Wie draagt de woonlasten bij beëindigen relatie?

Mijn, inmiddels ex, partner heeft een aantal weken terug onze relatie beëindigd vanwege een buitenechtelijke relatie die al maanden duurt en is vertrokken. Ik woon met onze kinderen in de koopwoning. Wij hebben de intentie om de woning op mijn naam te krijgen zodat de kinderen en ik hier kunnen blijven. Ik ben dat op dit moment aan het uitzoeken. Mijn ex-partner heeft nu zelf besloten de helft van onze bankrekeningen over te schrijven naar zijn eigen rekening en hij heeft zelfstandig een soort van alimentatie bedacht en mij aangegeven dat ik vanaf nu verantwoordelijk ben voor het betalen van alle vaste lasten. Ik ben op dit moment emotioneel gezien niet in staat hier tegen op te treden, maar mijn gevoel zegt dat dit niet kan en mag.
1. De woning staat op naam van ons allebei en daarom zijn we 50/50 verantwoordelijk
2. Hij heeft ook de alimentatie gehalveerd en overgeschreven naar zijn eigen rekening
3. Hij kan niet zelf een bedrag aan alimentatie bepalen
Klopt bovenstaande? Hoe kan ik gaan handelen?