Termijn bekendmaking baas andere baan?

Op 1 maart teken ik (mogelijk) een contract bij een andere werkgever. Ik kom op 21 augustus in dienst bij mijn nieuwe werkgever. Dit duurt dus nog geruime tijd. Is het verstandig om dit ook al snel aan mijn huidige werkgever te laten weten? Of kan beter de 2 maanden opzegtermijn worden aangehouden? Daarbij is mijn zomerverlof al gepland en vorige maand goedgekeurd. En dit komt zo uit dat ik gelijk na mijn zomerverlof begin bij mijn nieuwe werkgever. Zou mijn huidige werkgever hier een probleem van kunnen maken? Mijn zomerverlof was al bekend en goedgekeurd, ruim voordat ik wist dat ik zou worden aangenomen door mijn nieuwe werkgever.