Rechtsgeldige aanpassing in arbeidsovereenkomst?

Het betreft mijn 18 jarige zoon Jack en zijn arbeidsovereenkomst.
Hij is begonnen bij de Febo als bezorger, ongeveer een jaar geleden, hij heeft toen een oproepcontract zonder vaste uren getekend. Afgelopen Maart is hij helaas gestopt met school en moest hij van mij een baan met vaste uren zoeken.
Zijn werkgever Febo hoorde dit en wilde hem niet kwijt, er heeft overleg plaats gevonden en ik begreep dat er een nieuw contract met minimaal 32 vaste uren per week zou komen. Omdat wij nog steeds geen contract hebben gezien heb ik de eigenaar een appje gestuurd (tot grote irritatie van mijn zoon:) en kreeg ik onderstaand terug:

"Zoals ik al eerder heb aangegeven, hoeft Jack geen nieuw contract. Op het moment dat ik zijn uren op 32 uur per week zet, dit kun je ook zien op zijn loonstrook, dan is dit bindend en net zoveel waard als een contract waar dit in staat. Dat hij binnenkort een jaar in dienst is heeft nergens invloed op.
Als oproepkracht heb ik altijd de vakantie-uren uitbetaald, ook dit kan je zien op zijn loonstrook.
Nu hij voor 32 uur per week in dienst is krijgt hij wel vakantie uren, 160 uren per kalenderjaar.
Dit houdt dus in dat als Jack een week niet werkt, dat hij gewoon doorbetaald krijgt en er 32 uren van zijn verlofuren afgaat."

Kunnen jullie ons vertellen of dit zo mag? Heeft hij op deze manier inderdaad net zoveel rechten als met een ondertekend nieuw contract? Is het aanpassen van zijn uren op zijn loonstrook voldoende?