Nee, daar hebben zij geen rechten op. Welke partij eventueel schadeplichtig zou zijn hangt af van de omstandigheden, zoals wie er opzegt, waarom, wat daarover in de overeenkomst staat enz.
U kunt voor hulp/meer informatie vrijblijvend rechtstreeks contact opnemen met mij of een van de andere juristen hier, bijv. via de link onder dit antwoord die u ziet als u hebt ingelogd.

Volgens het Handelsnaamrecht ontstaat recht op een handelsnaam door het gebruik van die naam. U hoeft de naam niet te registreren.
Als u degene bent die als eerste de naam gebruikte, dan bezit u ook de oudste rechten en mag u de andere partij verbieden de naam te gebruiken.

Ten aanzien van de slogan geldt dat deze alleen auteursrechtelijk beschermd is als hij orgineel of oorspronkelijk genoeg is.
Als dit zo is, dan mag de slogan niet door anderen worden gebruik.
Net als bij het recht op een handelsnaam ontstaat auteursrecht door het gebruik van de slogan.